สัจพจน์พื้นฐาน

กำหนด กับ ได้ แล้ว (->) ไม่ (~) เป็น (∈) ทุก (∀) เท่ากับ (=)

สูตร

[wff]กำหนด p,q ∈ สูตร ได้ (p->q),~p ∈สูตร

ตรรกะ

[ax-mp]p กับ (p->q) ได้ q
[ax-1](p->(q->p))
[ax-2]((p->(q->r)) -> ((p->q)->(p->r)))
[ax-3]((~p->~q) -> (q->p))

ตรรกะชั้นที่หนึ่ง

[ax-gen]p ได้ ∀xp
[ax-4]∀x (p->q) -> (∀xp -> ∀xq)
[ax-5]p -> ∀xp โดยไม่มี x ใน p

ตรรกะของเท่ากับ

[ax-6]~∀x ~(x=y)
[ax-7]x=y -> (x=z -> y=z)
[ax-8]x=y -> (x∈z -> y∈z)
[ax-9]x=y -> (z∈x -> z∈y)

กำหนดให้เท่ากับ p := q
และ p&q := ~(p->~q)
ก็ต่อเมื่อ p↔q := (p->q)&(q->p)
มี ∃xp := ~∀x ~p

เซต: ทฤษฎีเซตของแซร์เมโล-แฟรงเคิลรวมสัจพจน์การเลือก (ZFC: Zermelo-Fraenkel with axiom of Choice)

[ax-ext]\( \forall z (z \in x \leftrightarrow z \in y) \rightarrow x=y \)
[ax-reg]\( \exists y (y \in x) \rightarrow \exists y (y \in x \wedge \forall z (z \in y \rightarrow \neg z \in x))\)
เซตไม่เป็นสมาชิกตัวเอง = x ไม่ใช่เซตว่าง แล้ว มี y ใน x ที่(ไม่มี z ที่(z อยู่ใน y และ z อยู่ใน x))
[ax-rep]\( \forall w \exists y \forall z (\forall y p \rightarrow z=y) \rightarrow \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow \exists w (w \in x \wedge \forall y p))\)
มีเซตที่มีผลจากฟังก์ชันของสมาชิกในเซต
[ax-pow]\(\exists y \forall z (\forall w (w \in z \rightarrow w \in x) \rightarrow z \in y) \)
มีเพาเวอร์เซตของเซต
[ax-un]\(\exists y \forall z (\exists w (z \in w \wedge w \in x) \rightarrow z \in y) \)
มียูเนียนของเซตกับเซต
[ax-inf]\(\exists y ((x \in y) \wedge \forall z (z \in y \rightarrow \exists w (z \in w \wedge w \in y))) \)
มีเซตที่จำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ = มีเซตที่ทุกสมาชิก z มี {z} เป็นสมาชิกด้วย
[ax-ac]\(\exists y \forall z \forall w ((z \in w \wedge w \in x) \rightarrow \exists v \forall u (\exists t((u \in w \wedge w \in t) \wedge (u \in t \wedge t \in y)) \leftrightarrow u=v) )\)
x ไม่มีสมาชิกเป็นเซตว่าง แล้ว มีฟังก์ชันเลือกจากสมาชิกของ x ไปสมาชิกของสมาชิกของ x

กลุ่มของเซต (class) {x|p}

จำนวนนับ: ทฤษฎีของปีอาโน 5 ข้อ \[ 0 \in \mathbb{N} \] \[ x \in \mathbb{N} \rightarrow Sx \in \mathbb{N} \] \[ x \in \mathbb{N} \rightarrow \neg(Sx = 0) \] \[ (a\in\mathbb{N} \wedge b\in\mathbb{N}) \rightarrow ((Sa = Sb) \leftrightarrow (a=b)) \] \[ (0\in A \wedge \forall x\in \mathbb{N} (x\in A \rightarrow Sx \in A)) \rightarrow \forall x \in\mathbb{N} (x \in A) \] หนึ่ง \[ 1 = S0 \] บวก \[ a+0 = a \] \[ a+Sb = S(a+b) \] คูณ \[ a*0 = 0 \] \[ a*Sb = a+(a*b) \] จำนวนเต็ม \[ \mathbb{Z}^+ = \mathbb{N} - {0} \] \[ \forall b \in \mathbb{Z}^+ \exists a \in \mathbb{Z}^- (a+b = 0) \] \[ \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^+ \cup {0} \cup \mathbb{Z}^- \] จำนวนตรรกยะ \[ q = a/b, a\in \mathbb{Z}, b\in \mathbb{Z}^+ \]

จำนวนจริง: ลำดับของโคชี (Cauchy sequence) ของจำนวนตรรกยะ \[ \forall \epsilon > 0 \exists N (m,n>N \rightarrow |x_m - x_n| \lt \epsilon) \] จำนวนจริง: ฟีลด์ที่มีอันดับและสมบูรณ์ (complete ordered field)

  1. ฟีลด์ (field)
    • ปิดภายใต้การบวก \( a\in\mathbb{R} \wedge b\in\mathbb{R} \rightarrow a+b \in\mathbb{R} \)
    • ปิดภายใต้การคูณ \( a\in\mathbb{R} \wedge b\in\mathbb{R} \rightarrow a*b \in\mathbb{R} \)
    • สลับที่การบวก \( a+b = b+a \)
    • สลับที่การคูณ \( a*b = b*a \)
    • เปลี่ยนกลุ่มการบวก \( (a+b)+c = a+(b+c) \)
    • เปลี่ยนกลุ่มการคูณ \( (a*b)*c = a*(b*c) \)
    • แจกแจงการบวกและคูณ \( a*(b+c) = (a*b)+(a*c) \)
    • เอกลักษณ์การบวก \( a+0=a \)
    • เอกลักษณ์การคูณ \( a*1=a \)
    • เอกลักษณ์การคูณไม่เท่ากับเอกลักษณ์การบวก \( \neg(1=0) \)
    • ผกผันการบวก \( \forall a\in \mathbb{R} \exists x \in\mathbb{R} (a+x=0) \)
    • ผกผันการคูณ \( \forall a\in \mathbb{R}-\{0\} \exists x \in\mathbb{R} (a*x=1) \)
  2. มีอันดับ (ordered)
    • มากกว่าคือไม่เท่าและไม่น้อยกว่า \( a>b \leftrightarrow (\neg(a=b) \wedge \neg(b>a) ) \)
    • ถ่ายทอดอันดับ \( (a>b \wedge b>c) \rightarrow a>c \)
    • การบวกอันดับ \( a>b \rightarrow a+c > b+c \)
    • การคูณอันดับ \( (a>0 \wedge b>0) \rightarrow a*b>0 \)
  3. สมบูรณ์ (complete)
    • ทุกลำดับที่มีขอบเขตบนมีจำนวนจริงน้อยสุดของขอบเขตบน (least upper bound) \[\begin{align} &(A \subseteq \mathbb{R} \wedge A \neq \varnothing \wedge \exists x \in \mathbb{R} \forall y\in A (y \lt x)) \\ \Rightarrow \exists x \in \mathbb{R} &\Big(\forall y \in A (y\leq x) \wedge \forall y \in \mathbb{R}\big(y \lt x \rightarrow \exists z \in A (y \lt z)\big)\Big) \end{align}\]

จำนวนเชิงซ้อน \[ a,b,c,d \in \mathbb{R} \] \[ z = a+bi \in \mathbb{C}, w=c+di \in \mathbb{C} \] \[ z+w = (a+c) + (b+d)i \] \[ zw = (ac-bd) + (ad+bc)i \]

ลิมิต \[ \lim_{x\to\infty} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \epsilon \exists M \forall x \Big( x>M \rightarrow |f(x)-A| \lt \epsilon \Big)\] \[ \lim_{x\to a} f(x) = A \Leftrightarrow \forall \epsilon \exists \delta \forall x \Big( |x-a|\lt\delta \rightarrow |f(x)-A| \lt \epsilon \Big) \] อนุพันธ์ \[ \frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \] \[ \frac{\partial f(a,b,c,\cdots)}{\partial b} = \lim_{\Delta b \to 0} \frac{f(a,b+\Delta b,c,\cdots) - f(a,b,c,\cdots)}{\Delta b} \] ปริพันธ์ \[ \int_a^b f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n} f(a+i\Delta x) \Delta x, \Delta x := \frac{b-a}{n} \] เอกซ์โพเนนเชียล \[ \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \] \[ \ln(x) = y \Leftrightarrow \exp(y) = x \] \[ \exp (ix) = \cos(x) + i \sin(x) \]

เวกเตอร์: สมาชิกของปริภูมิเวกเตอร์
ปริภูมิเวกเตอร์ V: เซตที่ปิดภายใต้การบวกและการคูณสเกลาฟีลด์ K
\(a,b,c\in V, s,t\in\mathbb{K}\)

  • สลับที่การบวก \(a+b=b+a\)
  • เปลี่ยนกลุ่มการบวก \(a+(b+c)=(a+b)+c\)
  • เอกลักษณ์การบวก \(a+\vec{0}=a\)
  • ผกผันการบวก \(\forall a \exists b (a+b=\vec{0})\)
  • เปลี่ยนกลุ่มการคูณสเกลา \(s(ta)=(st)a\)
  • เอกลักษณ์การคูณสเกลา \(1a=a\)
  • แจกแจงสเกลา \((s+t)a=sa+ta\)
  • แจกแจงเวกเตอร์ \(s(a+b)=sa+sb\)

ปริภูมิยูคลิเดียน: ปริภูมิเวกเตอร์บนจำนวนจริงที่มีมิติจำกัดและมีการคูณภายใน \[ a = \sum_{i=1}^n a_i e_i, b = \sum_{i=1}^n b_i e_i \] \[ a\cdot b = \sum_{i=1}^n a_i b_i \]

ขนาดของเวกเตอร์(ในปริภูมิยูคลิเดียน) \[ |a| = \sqrt{a\cdot a} = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \] การคูณครอส(ในปริภูมิยูคลิเดียน 3 มิติ) \[ a \times b = \mathrm{det}\begin{bmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}\]

Ananya Photonics
อนันญา โฟตอนิกส์ : สารานุกรมพิโคเมตรถึงเทระเมตร<0.2c