อะตอมของไฮโดรเจน คือ โปรตอน 1 ตัว กับ อิเล็กตรอน 1 ตัว
อะตอมของไฮโดรเจน เป็นแบบจำลองพื้นฐานของอะตอมทั่วไปที่มีนิวเคลียร์ (โปรตอน Z ตัวกับนิวตรอน N ตัว) กับอิเล็กตรอน Z ตัว
อะตอมของไฮโดรเจน ไม่สอดคล้องกับแบบจำลองแบบกลศาสตร์นิวตันที่อิเล็กตรอนเป็นจุดประจุ ซึ่งทำนายว่าระดับพลังงานเป็นค่าต่อเนื่องและเข้าใกล้นิวเคลียร์ในเวลาเพียง 16 ps แต่ในความเป็นจริงอะตอมของไฮโดรเจนมีระดับพลังงานไม่ต่อเนื่องและรัศมีคงที่ 52.9 pm จำเป็นต้องพิจารณาอิเล็กตรอนด้วยฟังก์ชันคลื่น
เมื่อให้โปรตอนเป็นจุดอ้างอิง และมีฟังก์ชันคลื่น \(\psi\) ของอิเล็กตรอนตัวเดียว จะได้สมการชเรอดิงเจอร์ \[ E\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + V \psi \] โดย
เขียน \(\nabla^2\) ในรูปพิกัดเชิงขั้ว \(r,\theta,\phi\) \[ E\psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \bigg( \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \Big( r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r} \Big) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \Big( \sin\theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \Big) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2} \bigg) - \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 r} \psi \] ฟังก์ชันคลื่นสามารถแยกตัวแปรได้เป็น \[ \psi(r,\theta,\phi) := R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi) \] จะได้ \[ -\frac{2m}{\hbar^2} E R\Theta\Phi = \frac{\Theta\Phi}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \Big( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \Big) + \frac{R\Phi}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \Big( \sin\theta \frac{\partial \Theta}{\partial \theta} \Big) + \frac{R\Theta}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} + \frac{2 m q^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar^2} \frac{1}{r} R\Theta\Phi \] แยกตัวแปรเป็นสามสมการได้ \[\begin{align} C_\phi &= \frac{1}{\Phi} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} \\ C_\theta &= \frac{1}{\Theta} \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \Big( \sin\theta \frac{\partial \Theta}{\partial \theta} \Big) + \frac{C_\phi}{\sin^2\theta} \\ 0 &= \frac{1}{R r^2} \frac{\partial}{\partial r} \Big( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \Big) + \frac{C_\theta}{r^2} + \frac{2 m q^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar^2} \frac{1}{r} + \frac{2mE}{\hbar^2} \end{align}\]
พจน์มุมทิศ \(\phi\) \[ \frac{d^2 \Phi}{d \phi} = C_\phi \Phi \] มีคำตอบในรูป \[ \Phi(\phi) = A \exp (\sqrt{C_\phi} \phi) \] จากความสมมาตร ฟังก์ชันนี้ต้องมีคาบ \(2\pi\) \[ \Phi(\phi+2\pi) = \Phi(\phi) \] จะได้เฉพาะค่า \(m\) เป็นจำนวนเต็ม \[ \Phi(\phi) = A_m \exp (i m \phi) \] \[ m \in \mathbb{Z} \] นั่นคือ \[ C_\phi = -m^2 \] นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ยังหาได้จากเงื่อนไขฟังก์ชันปกติ \[ \int_0^{2\pi} |\Phi(\phi)|^2 d\phi = 1 \] นั่นคือ \[ A_m = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \] โดยสรุป พจน์มุมทิศมีคำตอบเป็น \[ \Phi(\phi) = \frac{e^{i m \phi}}{\sqrt{2\pi}} , m\in\mathbb{Z} \]
พจน์มุมเงย \(\theta\) \[ C_\theta = \frac{1}{\Theta} \frac{1}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \Big( \sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta} \Big) - \frac{m^2}{\sin^2\theta} \] ให้ \(z := \cos\theta\) \[\begin{align} \sin\theta \frac{d}{d\theta} &= \sin\theta \frac{d\cos\theta}{d\theta} \frac{d}{dz} \\ &= \sin^2\theta \frac{d}{dz} \\ &= (1-z^2) \frac{d}{dz} \end{align}\] จัดรูปสมการได้เป็น \[ (1-z^2)\frac{d}{dz}\Big( (1-z^2) \frac{d\Theta}{dz} \Big) - (1-z^2) C_\theta \Theta - m^2 \Theta = 0 \] มีคำตอบเป็นพหุนามเลอจองด์ \[ \Theta(\theta) = P_l^m(\cos\theta) \]
| \(P_l^m(z)\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | \(1\) | - | - | - | - |
| 1 | \(z\) | \(\sqrt{1-z^2}\) | - | - | - |
| 2 | \(1 - 3z^2\) | \(z\sqrt{1-z^2}\) | \(1-z^2\) | - | - |
| 3 | \(z - \frac53 z^3\) | \((1-5z^2)\sqrt{1-z^2}\) | \(z(1-z^2)\) | \((1-z^2)^{3/2}\) | - |
| 4 | \(1 - 10 z^2 + \frac{35}{3} z^4\) | \((z - \frac73z^3)\sqrt{1-z^2}\) | \((1 - 7z^2)(1-z^2)\) | \(z(1-z^2)^{3/2}\) | \((1-z^2)^2\) |
และมีค่าคงที่ \[ C_\theta = -l(l+1), l\in\mathbb{N} \]
พจน์แนวรัศมี r \[ \frac{2mE}{\hbar^2} R = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \Big( r^2 \frac{dR}{dr} \Big) - l(l+1)\frac{R}{r^2} - \frac{2mq^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar^2} \frac{R}{r} \] แก้สมการ ได้คำตอบเป็น \[ R(r) = N e^{-r/na_0} \big(\frac{r}{a_0}\big)^l L_{n-l-1}^{2l+1} \big( \frac{2r}{na_0} \big) \] พหุนามลาแกร์
| n | l | n-l-1 | 2l+1 | \(L_{n-l-1}^{2l+1}(x)\) |
| 1 | 0 | 0 | 1 | \(1\) |
| 2 | 0 | 1 | 1 | \(1-\frac12x\) |
| 2 | 1 | 0 | 3 | \(1\) |
| 3 | 0 | 2 | 1 | \(1-x+\frac16x^2\) |
| 3 | 1 | 1 | 3 | \(1-\frac14x\) |
| 3 | 2 | 0 | 5 | \(1\) |
| 4 | 0 | 3 | 1 | \(1-\frac32x+\frac12x^2-\frac{1}{24}x^3\) |
| 4 | 1 | 2 | 3 | \(1-\frac12x+\frac{1}{20}x^2\) |
| 4 | 2 | 1 | 5 | \(1-\frac16x\) |
| 4 | 3 | 0 | 7 | \(1\) |
โดยรัศมีของบอหร์เป็น \[ a_0 := \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{mq^2} \approx 52.9 \ \mathrm{pm} \] ระดับพลังงาน \[ E = -\frac{E_h}{2n^2} \] เรียกค่าคงที่ \(E_h\) ว่าพลังงานฮาทรีเมื่อใช้มวลเป็นมวลของอิเล็กตรอน \[ E_h := \frac{\hbar^2}{m_e a_0^2} = m \Big(\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0\hbar}\Big)^2 \approx 27.21 \ \mathrm{eV} \] \[ n \in \mathbb{N}-0 \] \[ l \leq n-1 \]
จากทั้งสามพจน์ ฟังก์ชันคลื่นของอะตอมของไฮโดรเจนเป็น \[ \psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi) = N e^{-r/na_0} \big(\frac{r}{a_0}\big)^l L_{n-l-1}^{2l+1} \big( \frac{2r}{na_0} \big) P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi} \] \[ E = -\frac{\hbar^2}{2 m a_0^2} \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{n^2} \] \[ n \in \{1,2,3,4,5,...\} \] \[ l \in \{0,1,...,(n-1)\} \] \[ m \in \{-l,...,-1,0,1,...,l\} \] นั่นคือ อิเล็กตรอนมีระดับพลังงานได้เฉพาะบางค่า ไม่ต่อเนื่อง เรียกฟังก์ชันคลื่นสำหรับแต่ละค่า n,l,m ว่า ออบิทอล (orbital) ดังนี้
| n | l | m | ออบิทอล |
| 1 | 0 | 0 | 1s |
| 2 | 0 | 0 | 2s |
| 2 | 1 | 0 | 2pz |
| 2 | 1 | +1 | 2px + i2py |
| 2 | 1 | -1 | 2px - i2py |
| n | 0 | 0 | s |
| n | 1 | m | p |
| n | 2 | m | d |
| n | 3 | m | f |
สำหรับค่า n=1 \[ \psi_{1s} = \psi_{1,0,0}(r,\theta,\phi) = \frac{1}{\sqrt{\pi} a_0^{3/2}} e^{-r/a_0} \] สำหรับค่า n=2 \[ \psi_{2s} = \psi_{2,0,0}(r,\theta,\phi) = \frac{1}{\sqrt{8\pi} a_0^{3/2}} (1-\frac{r}{2a_0}) e^{-r/2a_0} \] \[ \psi_{2p_z} = \psi_{2,1,0}(r,\theta,\phi) = \frac{1}{\sqrt{8\pi} a_0^{3/2}} \frac{r}{2a_0} e^{-r/2a_0} \cos\theta \] \[ \psi_{2p_x} \pm i\psi_{2p_y} = \psi_{2,1,\pm 1}(r,\theta,\phi) = \frac{1}{4\sqrt{\pi} a_0^{3/2}} \frac{r}{2a_0} e^{-r/2a_0} \sin\theta e^{\pm i \phi} \]
อิเล็กตรอนอยู่ในสถานะฐานมีพลังงานต่ำสุด -13.6 eV ไม่มีการสูญเสียพลังงานโดยการเปล่งแสงออกอีก
เมื่ออะตอมดูดกลืนแสงที่มีพลังงานพอดีกับผลต่างของระดับพลังงาน อิเล็กตรอนจะเปลี่ยนสถานะไปสู่สถานะที่พลังงานสูงขึ้น
ในทำนองเดียวกันอิเล็กตรอนในสถานะมีพลังงานสูงกว่า มีโอกาสจะเปล่งแสงที่มีพลังงานพอดีกับผลต่างของระดับพลังงานและเปลี่ยนไปสู่สถานะที่พลังงานต่ำกว่า