สมการชเรอดิงเจอร์ เป็นสมการที่ทำนายสภาวะของวัตถุ เทียบเท่าสมการอนุรักษ์พลังงานในกลศาสตร์แบบนิวตัน แต่สามารถใช้ได้ทั่วไปถึงวัตถุที่มีขนาดเล็ก เช่น อิเล็กตรอน โมเลกุล
\[ E\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + V \psi \] เมื่อ \(\psi\) เป็นฟังก์ชันคลื่ิน, \(E\) เป็นพลังงาน, \(m\) เป็นมวล, \(V\) เป็นพลังงานศักย์, \(\hbar=\frac{h}{2\pi}\) เป็นค่าคงที่ของพลังค์ลดทอน, \(h\) = 6.62607015 x 10-34 J s
สมการชเรอดิงเจอร์ถูกคิดค้นโดยเออร์วิน ชเรอดิงเจอร์เมื่อปี 1925 เพื่อใช้อธิบายคุณสมบัติของอะตอมของไฮโดรเจน ซึ่งไม่สามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองแบบกลศาสตร์นิวตันที่อิเล็กตรอนเป็นจุดประจุ
เทียบกับกฎการอนุรักษ์พลังงานในกลศาสตร์แบบนิวตัน
\[ E = \frac12mv^2 + V \]
\(E\) เป็นพลังงาน, \(m\) เป็นมวล, \(v\)เป็นความเร็ว, \(V\) เป็นพลังงานศักย์
พิจารณาให้วัตถุบรรยายด้วยฟังก์ชันคลื่น \(\Psi(x,t)\) แทนการบอกตำแหน่งเป็นจุดที่เวลา \(x(t)\) สามารถเขียนได้ในรูปอนุกรมฟูเรียร์
\[ \Psi(x,t) = \sum_j a_j e^{i(k_j x - \omega_j t)} \]
เพื่อความง่ายพิจารณากรณีคลื่นเดียว
\[ \Psi(x,t) = a e^{i(kx-\omega t)} \]
จากพลังงานของพลังค์ ได้ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานกับความถี่เป็น
\[ E = hf = h \frac{\omega}{2\pi} = \hbar \omega \]
จากความยาวคลื่นของเดอบรอย ได้ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมกับความยาวคลื่นเป็น
\[ p = mv = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2\pi} k = \hbar k\]
จัดรูปสมการอนุรักษ์พลังงานสำหรับคลื่นได้เป็น
\[ \hbar\omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} + V \]
พิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่น
\[ \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -i\omega \Psi \]
\[ \frac{\partial}{\partial x} \Psi = ik \Psi \]
จะเขียนสมการอนุรักษ์พลังงานได้เป็น
\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi + V \Psi \]
เรียกสมการนี้ว่า สมการชเรอดิงเจอร์แบบแปรผันเวลา
หากพิจารณาคำตอบที่ไม่แปรผันตามเวลา \(\Psi(x,t) = \psi(x) e^{-iEt/\hbar} \) จะได้
\[ E \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi + V \psi \]
เป็นสมการชเรอดิงเจอร์แบบไม่แปรผันเวลาใน 1 มิติ